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易320 薛问天:莫把对微分的误读看作是数学分析的悖论.评姜赞臣和沈卫国先生的错误。  

2018-03-24 09:38:40|  分类: 评论园地 |  标签: |举报 |字号 订阅

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【文清慧注:下面是薛问天先生投给《评论园地》的稿件,欢迎大家积极展开评论。】







莫把对微分的误读看作是数学分析的悖论

评姜赞臣和沈卫国先生的错误。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn



易320 薛问天:莫把对微分的误读看作是数学分析的悖论.评姜赞臣和沈卫国先生的错误。 - 文清慧 - 学术争议问题评论园地
 

把自己对微积分的误读,对微分概念的误解,混淆,错误地以为是数学分析理论本身的矛盾和悖论。这就是姜赞臣先生同沈卫国先生所犯的共同的错误。

姜赞臣先生说:【数学分析中最基本的矛盾是由等式dx=Δx反映的。它实际上应该是数学分析中的悖论。】

沈先生也认为:【微分最主要的问题是dx=Δx的问题。】

其实这都是他们没有读懂数学分析,是对微分概念的错误理解引起的。

姜先生说:【Δx是自变量的增量(Δx≠o)dxΔx的极限,其本质上dx=0。因此就其本质看dx≠Δx。】

可见姜先生根本就没有弄懂微分的基本概念。竟说什么【dxΔx的极限】。在这样错误的理解下,当然就有dx=Δxdx≠Δx的矛盾。问题是在数学分析中从来没有【dxΔx的极限】这种说法,这全是姜先生的错误理解。

无独有偶,沈先生从另一个角度,对dx=Δx提出了质疑。

沈先生说【x可以是t的函数不?如果不允许,请说明理由。如果允许那么,按dx=Δx,是不是dx(t)=Δx(t)。是不是直接违反微分的定义?你不能睁着眼睛说瞎话。还说什么无问题。】(在易314中的跟帖2018/03/14)

沈先牛根本没有弄懂【自变量的微分】,与【函数的微分】根本是两个不同的概念。同样是对微分概念的误读和概念的混洧,误以为是数学分析理论的矛盾和问题。

下面我们来具体分析。



关于数学分析中酌微分概念,有以下几点必须澄清,不得混淆。

1)【函数的微分】和【自变量的微分】是两个不同的概念,是分别定义的,不容混淆。

在微分的定义中,是这样陈述的。对于函数y=f(x),把Δy的线性主部AΔx,称为【函数fx0点的微分】,记作dy。也就是说,如果Δy=AΔx+o(Δx),则【函数fx0点的微分】是dy=AΔx。而把Δx称为【自变量的微分】,记作dx=Δx

可见这里dyy=f(x)的【函数的微分】,dx是函数y=f(x)的【自变量的微分】。这是分別定义的两个不同的概念。



2)  对于复合函数来讲,设y=f(x)x=g(t)y=f(g(t))=h(t)

函数y=f(x)的【自变量的微分】dx=Δx,函数ⅹ=g(t)的【函数的微分】dx=BΔt,它是Δx的线性主部,它不等于Δx。这是两个不同的dx

这有矛盾吗?这一点矛盾也没有,函数f的【自变量的微分】dx,同函数g的【函数的微分】dx,这是两个分别定义的不同的概念,代表的是两个不同的变量,有不同的值。这一点矛盾都没有。认为它有矛盾完全是由于对这两个概念的误解,以为都用dx这个符号表示,就错误地以为它们是一个变量,应当具有相同的值。这完全是理解混淆了。虽说都用dx这个符号表示,但在不同的场合,它代表的是不同的变量,不同的值。只是由亍沈先生等人概念不清,错误的理解,混淆了它们的区别,才提出质疑,以为这是矛盾,是问题,是悖论。其实只要正确理解,一点问题都没有。



这里不只是dx作为f(x)的自变量的微分和作为函数g(t)的函数的徼分是不同的变量。dy作为f(x)的函数的微分,同dy作为复合函数h(t)的微分,虽然都用dy表示,但它们表示的也是不同的变量,具有不同的值。



3) 同济的《高等数学》在微分的定义中微分前面有一个形容短语【相应于自变量增量Δx的…】。我在评论袁萌的意见时,曾说过把它「放在微分的定义中,确实没有必要。」但同时也说道:「强调微分是相应于自变量增量Δx的,这点其实也并没有错,澄清这点也很重要。譬如在复合函数的情形。假设y=f(x),而x=g(t),那么复合函数就是y=h(t)=f(g(t))。当我们谈及微分dy时,一定要说清这个dy是相应于Δx的,还是相应于Δt的。也就是要说清楚这个微分dy是函数y=f(x)的微分,还是函数y=h(t)的微分。因为这两个微分,虽然在形式上都用完全相同的符号dy表示,但是实际內容却是不同的变量。不仅构成上是不同自变量增量的函数,数值上也并不相等。它们之间不能划等号。这点在教授过程中必须分清。不过不应放在微分的正式定义之中,因为定义中已说明是函数的微分了。由于函数y=f(x)和函数y=h(t)是两个不同的函数,其微分自然也是不同的对象。」



4) 在微积分中。有个有趣的规律叫「微分的形式不变性」。

在复合函数的情形。设有y=f(x)x=g(t),从而复合函数y=f(g(t))=h(t)。令f的微分dy=Adx①g的微分dx=Bdt②,而h的微分dy=Cdt③。上面己经分析,①式中的dy同③式中的dy是不同的变量,①式中的dx同②式中的dx也是不同的变量。由于对于复合函数,它们的导数可证具有关系:C=AB。于是代入③式后dy=ABdt。但是因有dx=Bdt,所以有dy=Adx④。注意这里④式中的dy是函数h的徵分,dx是函数g的微分,这同①式中的dy(函数f的微分)dx(f的自变量的微分)是不同的变量。但是①式和④式在形式上是完全相同的,都表示成dy=Adx。这就叫作「微分的形式不变性」。也就是说在式子dy=Adx中,你可以把它解释为「dy是函数f的微分,而且dxf的自变量的微分」,也可以解释为「dy是函数h的微分,而且dx是函数h的微分」。这都没有错。(注。请注意解释中的【而且】两个字。也就是说,解释是dydx配对的,不能单独把dy作这种解释,而dx又作另种解释。)

有些人不理解其中的区别,把这看作为数学分析中的矛盾。其实只要概念清晰,理解正确,这里沒有矛盾,而是刚好有这样的形式规律而己。



所以说:莫把对微分概念的误读,看作是数学分析理论中的矛盾和悖论。是你没有看懂,理解错了,不是人家理论有问题。





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