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易319 薛问天:谈「主部」和「线性主部」。评沈卫国和齐民友先生有关主部的一些错误议论。  

2018-03-21 12:00:39|  分类: 评论园地 |  标签: |举报 |字号 订阅

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【文清慧注:下面是薛问天先生投给《评论园地》的稿件,欢迎大家积极展开评论。】



谈「主部」和「线性主部」。

评沈卫国和齐民友先生有关主部的一些错误议论。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

易319 薛问天:谈「主部」和「线性主部」。评沈卫国和齐民友先生有关主部的一些错误议论。 - 文清慧 - 学术争议问题评论园地
 

我们都知道,在微积分中把函数y=f(x)在点x0的微分dy,定义为增量Δy的【线性主部】。由于一些人对【主部】这个概念的确切含义了解不够,从而导致了一些错误的议论。最典型的例子,就是沈卫国先生最近在《评论园地》上有关主部的议论,另外还有武汉大学齐民友教授所著《重溫微积分》(高等教育出版社2003年出版)中的有关论述。

沈先生说微分【根本就不是什么“主部”,就仅仅是线性部分(见易314文后37日的跟帖)】。齐教授说【……dfΔf的线性部分。许多书上都爱说"主要部分″,这至少是不准确的。】

微分dy既是Δy的【主部】,又是Δx的【线性】函数。这两个属性缺一不可。只说【主部】不说【线性】不对。同理,只说【线性】不说【主部】也不对。而说【根本就不是什么“主部”】,则更加不对。

下面我们来做一些具体的分析和解释。



一。关于【主部】这个概念的定义和确切义。

有些人对数学概念的理解不是去查阅原始定义,而是从这个数学对象的名称上,从普通自然语言的语义上来理解这个数学概念。这显然不是正确对待数学概念的方法。例如,如果仅从字面上理解,把【自然数】理解为【自然的数】,把【实数】理解为【实际的数】,从「自然的」,「实际的」这些形容词自然语言的语义上,你能分清自然数同实数的区别吗?显然不能,在数学上只能根据概念的【定义】来把握这些数学对象的确切涵义。不能根据它的名称,在字面上反复纠缠。

【主部】,这是一个有严格定义的数学概念。就如同理解其它数学概念一样,不能从这个概念的名称上,从它的字面意思上来理解和猜测数学概念的含义。对【主部】的理解,有人就从自然语言的语义上去解释,以为就是主要部分的意思,以为主部在任何情况下比其它部分都要大。其实按定义不是这样的,主部是有主要部分的意思,但是这个【主要部分】究竟是什么涵义,指的是什么,一定要根据概念的数学定义,而不是根据概念名称的字面语义来理解和把握。



【主部】的数学定义是:

【定义1】。设随Δx变化的变量β=α+γ。如果当Δx→0时,α/β→1γ/β→0,则称αβ的主部。

直观讲,就是变量β能表示成αγ两部分变量的和。而当Δx→0时,α所占的比例α/β趋近于1,而γ所占的比例γ/β趋近于0,则称αβ的主部。

关于对【主部】概念的理鲜,有几点需要说明。

1) 我们注意,在Δx→0时,α/β→1说明aβ是等价无穷小。γ/β→0,说明γβ的高阶无穷小。这是个极限的概念。即从总的趋势来讲,α占的比例会随Δx趋近于0的进程愈来愈大,趋近于最大。但是,这并不是说在任何时刻,α所占的比例郜占大头,都占【主要部分】。所以,如果发现对某些Δxγα还接近β,不必奇怪,这仍属正常情况。当接着继续选择充分小的Δx时,最终还是主部α占【主要部分】。

2) 另一方面。一个变量的主部並不是唯一的。例如,当β=α+γαβ的主部,同时α′=α+γ/k等也是β的主部。由于γ→0,从γ中分出任何一部分增补给α都能形成新的主部。

3) 主部还可以有另外的等价定义。例如:

【定义2】。设αβ都是在同一自变量变化过程中的无穷小,如果β=α+o(α),则称αβ的主部。

此定义见同济大学数学系编《高等数学》(第七版,高等教育出版社2014年出版)112页脚注。

也就是说,假定有变量β=α+γ,其中当Δx→0时,γ/α→.0,即变量γ是比α更高阶的无穷小量:γ=o(α),则称αβ的主部。

很容易证明这两个主部定义的等价性。

【定理1】主部的定义1和定义2是等价的。

证明。假定αβ的按定义2的主部。知当Δx→0时,γ/α→0,即α/γ→∞

(β-γ)/γ=(β/γ)-1→∞,所以β/γ→∞,即γ/β→0

同时,α/β=(β-γ)/β=1-γ/β→1,所以αβ?按定义1的主`部。

反之,假定αβ的定义1主部。知当Δx→0时,γ/β→0,则β/γ→∞

(α+γ)/γ=(α/γ)+1→∞,所以α/γ→∞,即γ/α→0

所以,αβ的定义2主部。证毕。



二。【线性主部】的定义。

从上述论述可知,β是随Δx变化的变量,而且当Δx→0时,β→0β是无穷小变量。当βΔx是同阶无穷小时(即当Δx→0时,有β/Δx→k≠0)β的主部具有如下性质。

【定理2】。如果βΔx是同阶无穷小 (即当Δx→0时,有β/Δx→k≠0),则αβ的主部当且仅当β=α+o(Δx)

证明。如果β=α+o(Δx),由于α/Δx=(β/Δx)-(o(Δx)/Δx)→k(Δx→0)。于是o(Δx)/α=(o(Δx)/Δx) /(α/Δx)→0/k=.0(Δx→0)。即o(Δx)α的高阶无穷小,β=α+o(α)。按定义2αβ的主部。

反之,如果αβ的主部,按定义2,有β=α+o(α)o(α)/Δx=(o(x)/α) / (Δx/α,)→0/(1/k)=0(Δx→0)。即β=α+0(Δx)。证毕。

由定理2可知,在βΔx是同阶无穷小时,如果β=α+o(Δx),则α就是β的主部。



有了【主部】的定义,就可在此基础上讨论【线性主部】的定义。

【定义3】。如果α不仅是β的主部,而且是Δx的线性函数:α=AΔx。则称αβ的线性主部。



显然,如果αβ的线性主部,则Δxβ是同阶无穷小。于是根据定义2和定义3,即可给出线性主部的等价定义:

【定义4】如果有β=AΔx+o(Δx),则称αβ的线性主部。



一般讲,β的主部α不是唯一的。但对于β的线性主部来说,α=AΔx却是唯一的。因为假定另有线性主部α=BΔx,则可以很容易地证明A=B

把微分dy定义为Δy的线性主部,这就是普通教科出中微分的完整定义。



综上所述,在微分的定义中,线性和主部,是微分定义的两个重要属性,缺一不可。任何只讲其中一个属性而忽视或排斥另一个属性的讲法都是片面的、不完整的,甚至是错误的。

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