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易316 薛问天:评北大袁萌老师对同济《高等数学》教材的批评。 (x→x0)并没有作为微分的梆定前提条件。  

2018-03-13 18:04:21|  分类: 评论园地 |  标签: |举报 |字号 订阅

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【文清慧注:下面是薛问天先生投给《评论园地》的稿件,欢迎大家积极展开评论。】



评北大袁萌老师对同济高等数学教材的批评。

(x→x0)并没有作为微分的梆定前提条件。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn


易316 薛问天:评北大袁萌老师对同济《高等数学》教材的批评。  (x→x0)并没有作为微分的梆定前提条件。 - 文清慧 - 学术争议问题评论园地
 

最近在《争议问题评议园地》上看到转载的北大袁萌老师对同济大学等校所编的微积分教材的批评意见。我也查看了一下同济编的《高等数学(第七版》。我认为袁萌先生的两点批评意见,有一点批评的对,有一点批评的不正确。

1) 在教材微分定义中说【…。 AΔx叫函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy】。袁萌的批评是对的,其中微分前面的这个形容短语【相应于自变量增量Δx的】放在微分的定义中,确实没有必要。正确的说法应是:【AΔx叫做函数y=f(x)在点x0的微分,记作dy,】因为函数y=f(x)在该点x0的微分指的是AΔx这个线性函数,而该函数值自然是相应于增量Δx的。

可能原作者想强调微分是自变量增量Δx的函数,但说成这样就不对了。要解释明白也只能这么说:【把这个自变量增量Δx的线性函数AΔx,叫做函数y=f(x)在点x0的微分。】

另外,强调微分是相应于自变量增量Δx的,这点其实也并没有错,澄清这点也很重要。譬如在复合函数的情形。假设y=f(x),而x=g(t),那么复合函数就是y=h(t)=f(g(t))。当我们谈及微分dy时,一定要说清这个dy是相应于Δx的,还是相应于Δt的。也就是要说清楚这个微分dy是函数y=f(x)的微分,还是函数y=h(t)的微分。因为这两个微分,虽然在形式上都用完全相同的符号dy表示,但是实际內容却是不同的变量。不仅构成上是不同自变量增量的函数,数值上也并不相等。它们之间不能划等号。这点在教授过程中必须分清。不过不应放在微分的定义之中,因为定义中已说明是函数的微分了。由于函数y=f(x)和函数y=h(t)是两个不同的函数,其微分自然也是不同的对象。

因而,袁萌先生的这一批评意见还是对的。



2) 袁萌批评说:【我们问:(*)式成立与否是不是一定要以”Δx →0“为前提?当然不需要这一前提条件。但是,“十一五”国家级规划教材同济大学《高等数学》则不认为是这样的,在微分定义中,编者绑定了前提条件”Δx →0“,多年来,培育出不少小糊涂虫。】

实际上教材在微分定义中,并没有【绑定了前提条件"Δx→0"。】

详见教材第七版第二章第五节第一小节微分的定义,其中公式(5-1)并没有"Δx→0"的条件。是不是袁先生看的不是最新版本?

既使如袁萌先生自己对教材的内容所做的叙述:

【在传统微积分学里面,有一个著名的公式(*Δy =AΔx + oΔx)

在(*)式中,A是一个常数。“oΔx)”这一项是什么意思呢?“十一五”国家级规划教材宣称:“oΔx)”是所谓“高阶无穷小”(在Δx →0条件下)。也就是说,在Δx →0条件下,oΔx)/Δx →0。此时,将表达式AΔx定义为函数yx处的微分。】

这段陈述是在解释高级无穷小o( Δx)的含义,也就是说。(*)式中的o(Δx)要滿足条件:【当Δx→0时,o(Δx)/Δx→0】,这怎么能叫做【绑定了前提条件"Δx→0"】呢?说明式中的某项在Δx→0的条件下是高阶无穷小,怎么能说对此式就绑定了条件Δx→0呢?

一个教材、一本书都有它自己的用语习惯或约定。我们看这本教材对无穷小的定义(第一?章第四节第一小节)

如果函数f(x)x→x0(x→∞)时的极限是0,则称f(x)为当x→x0(x→∞)时的无穷小。

可见x→x0(x→∞)并没有梆定函数f(x)。只是说在x→x0(x→∞)时,f(x)是无穷小。在其它吋间,f(x)仍然是个普通的函数,普通的变量。

在上述陈述中,变量o(Δx)Δy公式中的一项,如果在Δx→0o(Δx)/Δx→0,则称o(Δx)Δx→0时的高阶无穷小。你能说这样对Δy的公式【梆定了前提条件Δx→0】了吗?并没有。在不考虑Δx→0时,Δy仍然是普通的变量,公式仍然成立,o(Δx)仍然是Δy公式中的一项,只是说ΔyΔx→0的条件下,其公式中的o(Δx)是个高阶无穷小而己。

因而袁萌先生的这点指责是不对的。在o(Δx)是高阶无穷小后面加上括号,注明是在Δx→0的条件下的高阶无穷小,这不仅没有错,而且是完全必要的。

另外,教材在讲线性主部时也加有条件。教材中说:【我们说dyΔy的线性主部(Δx→0)……(P112)。同理,这样的注解也没有错,并没有把Δx→0作为条件梆定到dyΔy上。只是说当Δx→0时,Δydy的差是比dyΔx更高阶的无穷小而己。

线性主部在教材中是这样定义的。【设αβ都是在同一自变量变化过程中的无穷小`,如果β=α+o(α),则称αβ的主部。】

也就是说当Δx→0时,即当dyΔy都是无穷小时,dyΔy的线性主部。这里并没有把Δx→0作为条件梆定到dyΔy上。对于Δx不趋于0的情况和时候,dyΔy仍然是普通的变量。

Δx趋于0和不趋于0,这只是对于dyΔy的两种都要考虑考查的时候和情况。各种情况都要考点,这不存在任何问题和矛盾。不像沈卫国先生说的那样:【遇到了问题。也就是趋于0不是,不趋于0也不是。】

袁萌先生产生疑问的主要原因在于对事物【当某某时,】【在某某条件下,】这样的用语的理解上存在问题。这些【某某时】,【某某条件】只是事物的部分时候的情况,而不是全部时间都是如此。所以说并没有对事物【梆定了前提条件】。

这就如同我们说「张三叫毛毛(当他小的时候)」,这并不意味着张三永远长不大,把他小的时候」作为条件梆定到张三身上是一个道理。

(全文完)

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