登录  
 加关注
查看详情
   显示下一条  |  关闭
温馨提示!由于新浪微博认证机制调整,您的新浪微博帐号绑定已过期,请重新绑定!立即重新绑定新浪微博》  |  关闭

学术争议问题评论园地

在“评论园地”上,以博文的形式实名或笔名发表或转载对学术争议问题的评论。

 
 
 

日志

 
 

易185-1薛问天:再评朱梧槚先生的“自然数集合非集论”的错误(上)  

2014-09-16 22:19:10|  分类: 评论园地 |  标签: |举报 |字号 订阅

  下载LOFTER 我的照片书  |

 

【文清慧注:下面是薛问天先生投给评论园地的文章(上)】

 

易185-1薛问天:再评朱梧槚先生的“自然数集合非集论”的错误(上) - 文清慧 - 学术争议问题评论园地

 再评朱梧先生的

自然数集合非集论的错误(上)

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

我曾经在《评论园地》上撰文对朱梧先生的自然数集合非集论的错误进行过评论(见2014-06-21《易156[1])。那篇文章主要是针对他们2006年的文章关于无穷集合概念的不相容性问题的研究[2]而写的。实际上,朱梧先生在他2008年的著作《数学与无穷观的逻辑基础》[3]2012年的著作《数学无穷与中介的逻辑基础》[4]中,又重述了他的论点,并且做了一定的修改和补充,提出了非集论的三个证明(我们简称其为证明①②③)。于是有必要再写一篇文章,针对他最新版本[4]非集论,就其证明,分别来分析其中的错误。

朱梧先生的自然数集合的非集论,只是他论证的基础,他要在此基础上,推翻整个集合论。朱先生的证明思路是这样的,他先证明由全体自然数构成的集合是自相矛盾的非集,然后在此基础上证明所有可数无穷集合是自相矛盾的非集,最后再证明不可数无穷集合是非集,得出ZFC框架下任何无穷集合都是自相矛盾的非集的荒谬结论。所以说他文章的核心和基础是证明自然数集合是非集。只要这个定理证明错了,其他的证明就没有任何意义。同上篇文章一样,我们只需指出自然数集合的非集论是错误的,他推翻整个集合论的推论也就顿时化为泡影。

 

1,         关于不断增大趋近于极限的变量可达的定义

我在上篇评论[1]中,曾批评过,可达是他非集论论证中的一个非常重要的概念,作为一个专业数学家,怎么能对此只用几个函数极限的例子做简单的说明,而不作严格的定义呢!更何况函数极限的可达同他后面论证中的趋于极限的变量的可达毫无关系。可能朱梧先生后来自己也意识到了这点,所以在新版中已经删掉了那些函数极限的例子,并试图对可达给出明确的定义。但是从书[4]中的3.5.1可以看出,作者的陈述并不严格,也不专业。书中的有些提法,如关于实无穷和潜无穷的解释,序数和基数的关系等,笔者并不完全认同。不过这些还暂时不影响对非集论主要错误的评论。为了评论方便和能够缜密严格地分析和评论,我根据作者的原意,进而严格地用数学的语言归纳出相关概念的数学定义,如趋于极限的变量以及可达性等,并且在此基础上得出本文的基本推论。

书作者引出的所谓理想容器的概念,实际上就是集合。他的理想容器S中存储有@个对象,实际上就是集合S中含有@个元素,或集合的势等于@”。我认为还是严格地用集合论的语言来定义这些概念比较合适和专业。先从几个基本概念的定义开始。

定义(良序集) 设集合(S,≤)为一全序集,是其偏序关系。若S的所有非空子集,在其序下都有最小元素,则称为良序关系,(S,≤)为良序集。

例如,全体自然数集合N={1,2,3,…}是良序集。把基数Aleph_0记作ωAleph_1记作ω1。显然,基数的集合C0={0,1,2,3,…,ω}C1={0,1,2,3,…,ω,ω1},…等都是良序集。注:良序集的序(),如果是自然的大小或先后顺序,本文将不再特别指明。

定义(良序集的下归子集)设有良序集UU的子集合S称为U的下归子集,如果满足条件:若α∈S,则所有小于α的元素β皆属于S,即β∈S

显然,下归子集还可以有另一个等价的定义。

定义(下归子集的等价定义)设有良序集U,将集合U本身,以及对任意δ∈U,集合S(δ)={x∈U | x<δ},都称为是U的下归子集。

例如,N={1,2,3,…}的下归子集是集合:{1}, {1,2}, {1,2,3}, …, {1,2,3,…}C1={0,1,2,3,…,ω,ω1}的下归子集是集合:{0}, {0,1}, {0,1,2}, …, {0,1,2,3,,,,}, {0,1,2,3,,,,ω}, {0,1,2,3,,,ω,ω1}

定义(下归子集的上极限)设有良序集U的真下归子集SS的上界集合L(S)={x∈U | xS的上界,即对于任何y∈Sy≤x},由于S的上界集合L(S)U的非空子集合,按照U是良序集的定义,L(S)有最小元,称此最小元@,即S的最小上界为S的上极限。

例如,集合{1}的上极限是1 {1,2}的上极限是2, ,…,  {1,2,3,,,,} 的上极限是ω,C0={0,1,2,3,…,ω}的上极限是ω,C1={0,1,2,3,…,ω,ω1}的上极限是ω1等。

定理(有最大元) 设有良序集U的真下归子集SS有最大元当且仅当S的上极限属于S(证明从略)。

例如N={1,2,3,,,,}无最大元,它的上极限ω不属于N;而C0={0,1,2,3,…,ω} 有最大元,它的上极限ω属于C0

定义(趋近于极限的变量)S是一个良序集U的真下归子集,@S的上极限,若kS中的所有元素按照其序不断增大变化的变量,则称k为趋近于极限@的变量。

定义(可达)S是一个良序集U的真下归子集,如果S的上极限@属于S(即S有最大元),则称S的元素不断增大趋近于极限@的变量k可达到@。反之,如果S的上极限@不属于S(即S无最大元),则称该变量k是不可达到极限@的。

例如,全体自然数集合N可以看作是某良序集合U(某包含N和至少一个超穷基数的基数集合,如C0,C1,…等)的真下归子集,ω显然是N的上极限。由于N无最大元,上极限ω不属于N,所以说N中的元素不断增大趋近于极限ω的变量k是不可达的。

再例如,我们考虑N的所有下归子集。每个下归子集都有它的势,即它含有的元素的个数(基数)。由所有这些下归子集的个数(势)构成的集合是基数的集合C0={0,1,2,3,…,ω}。由于N本身也是N的一个下归子集,显然N的势ω也属于其中,而且是C0的上极限。于是C0中的元素不断增大趋近于极限ω的变量k是可达的。

由上述分析不难做出如下推论:

基本推论 设有一个可数无穷序列M={a1,a2,a3,……},M中元素编号的集合是全体自然数集合N={1,2,3,…}N中元素不断增大趋近于极限ω的变量k是不可达的。M个数不断增多的集合,即M的所有下归子集的个数构成的集合是序数集合C0= {0,1,2,3,…,ω}C0中元素不断增大趋近于极限ω的变量k是可达的。

 

1.朱梧[4]中的3.5.1原文。

易185-1薛问天:再评朱梧槚先生的“自然数集合非集论”的错误(上) - 文清慧 - 学术争议问题评论园地

 

易185-1薛问天:再评朱梧槚先生的“自然数集合非集论”的错误(上) - 文清慧 - 学术争议问题评论园地

 

易185-1薛问天:再评朱梧槚先生的“自然数集合非集论”的错误(上) - 文清慧 - 学术争议问题评论园地

 

易185-1薛问天:再评朱梧槚先生的“自然数集合非集论”的错误(上) - 文清慧 - 学术争议问题评论园地

 】

 

2,         非集论证明的错误分析

在书[4]非集论的证明同在文[2]中的证明表述基本没有差别。我在文[1]中已经指出,证明的主要错误有两点。

最重要的一点错误是违反了逻辑上的同一律。文中对于k的含义,前后是不一致的。

书中列出了一个由可数无穷多个不等式构成的的序列N<

N<={1<ω,2<ω,3<ω,...,n<ω,......}

然后有一条记号定义引入:n(In)Ienk =dfnN<中第k个不等式所含有的唯一确定的自然数

显然,这里讲的k指的是序列N<中第k个不等式的kkn都是自然数,自然不能取ω为值,在不等式中不可能有第ω个不等式:ω<ω

按照我们上节的基本推论,对于N<这个可数无穷序列,k作为N<的元素(不等式)的编号不断增大的变量趋近于ω时,是不可达的。

但是后面讲的k却是另一个含义。后面讲的kk来表示N<中不等式的个数不断地增多的这一变量。所谓“N<中不等式的个数不断地增多的集合,按照我们上节的分析,就是N<的所有下归子集的个数构成的基数的集合C0={0,1,2,3,…,ω}k就是C0中元素不断增大趋近于ω的变量。根据上节的基本推论,这个不断增大趋近于ω的变量k是可达的。

前者是自然数,不存在第ω个不等式,所以k不能以ω为值,从而是不可达的。而后者指的是不等式的个数,是以基数为值。所有不等式的个数(即其基数)是ωk可以取ω为值,是可达的。

先生文章的核心错误就是混淆了前后两个k的含义,把他们视为等同的并且用同一个符号k表示,从而导出矛盾,然后就据此归结为是自然数系统的矛盾,证明自然数集合是自相矛盾的非集。

证明的另外一个错误是混淆了不同系统变量这个词的不同含义。我们知道在逻辑系统中的变量(个体变元),同类似于数学分析中的不断变化趋于极限的变量是两个不同的概念。

在朱先生的替换式:

"n"k( n(In)Ienk→ n=k )

中和蕴含式

"n"k( n(In)Ienk→(k↑ω)∧(k Tω) )

"n"k( n(In)Ienk→(n↑ω)∧(n Tω) )

左边的nk.代表的是自然数的个体变量(逻辑系统中的个体变元)。然而在蕴含式右边的nk.代表的却是自然数序列(λ)和不等式个数序列中不断增大趋近于极限ω的变量。虽然都是nk,一个是代表自然数的个体变量,一个是集合中的元素不断增大趋向于极限的变量。怎么能看成同样的对象进行推论呢?上述推论实际上是在说,由于不等式序列中第k个不等式中有自然数n,命题不等式个数序列构成不断增大趋向于极限ω的变量k是可达的,就可以换成自然数序列的不断增大趋向于极限ω的变量n是可达的。根据什么说,作为自然数的nk相等,作为趋向于极限的变量的nk的属性就应相同。作为一个专业的数学家竟然能如此的推论,把不同含义的nk,任意在此互换。

顺便说一句,作为代表自然数的个体变量nk,前面加量词是有意义的,但是作为不断增大趋于极限的变量的nk前面加量词如何解释。可见作者在写作时逻辑概念是相当混乱的。

上述两个错误中任何一个,实际上就足以推翻书[4]中的结论。总之,从不等式个数的序列构成的基数集合{1,2,3,...,n,...,ω},它的趋于极限ω的变量k是可达的,推导不出自然数集合{1,2,3,...,n,... }的趋于极限ω的变量n也是可达的。因而推导不出自然数集合的趋于极限ω的变量n既是可达的,又是不可达的矛盾。也就是说最后据此所得出的自然数集合是自相矛盾的非集的结论也自然是错误的,不能成立。

(未完待续)

2. 朱梧[4]中的非集论证明①部分原文。

易185-1薛问天:再评朱梧槚先生的“自然数集合非集论”的错误(上) - 文清慧 - 学术争议问题评论园地

 

易185-1薛问天:再评朱梧槚先生的“自然数集合非集论”的错误(上) - 文清慧 - 学术争议问题评论园地

 

易185-1薛问天:再评朱梧槚先生的“自然数集合非集论”的错误(上) - 文清慧 - 学术争议问题评论园地

 

易185-1薛问天:再评朱梧槚先生的“自然数集合非集论”的错误(上) - 文清慧 - 学术争议问题评论园地

 】

参考文献

[1] 156-薛问天:专家犯错惹大祸,评朱梧檟教授的令人惊奇的定理(徐利治教授语)”:“任何无穷集合都是自相矛盾的非集 2014-06-21

[2] 朱梧槚,肖奚安,杜国平,宫宁生:关于无穷集合概念的不相容性问题的研究《南京邮电大学学报(自然科学版)26卷第6期,200612

[3] 朱梧檟 《数学与无穷观的逻辑基础》2008-03-01 大连理工大学出版社

[4] 朱梧槚 数学无穷与中介的逻辑基础 2012-6-1 科学出版社

[5] 177-薛问天:区分两种实无穷观 2014-08-14

 

(未完待续)

  评论这张
 
阅读(677)| 评论(0)

历史上的今天

评论

<#--最新日志,群博日志--> <#--推荐日志--> <#--引用记录--> <#--博主推荐--> <#--随机阅读--> <#--首页推荐--> <#--历史上的今天--> <#--被推荐日志--> <#--上一篇,下一篇--> <#-- 热度 --> <#-- 网易新闻广告 --> <#--右边模块结构--> <#--评论模块结构--> <#--引用模块结构--> <#--博主发起的投票-->
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

页脚

网易公司版权所有 ©1997-2018